Втыкаю компрессор подкачать колеса или даже мощную зарядку для телефона, и сразу сгорает предохранитель. Уже пробовал ставить номинал побольше - начал плавиться сам корпус гнезда. Проводку прозванивал на короткое, вроде нигде на массу не коротит. Что может давать такую нагрузку или проблема в самом гнезде?

Ставить номинал выше положенного - верный способ устроить пожар в машине. Скорее всего, у тебя плохой контакт в колодке подключения, из-за этого растет сопротивление и ток. Рекомендую обновить коммутацию. Я для своей машины брал комплектующие на Prom-Trans. Там нужно заменить и само гнездо, и, желательно, блок предохранителей, если он старого образца. На новых ножевых элементах контакт лучше, и они держат нагрузку от компрессора без перегрева.